SymPy Tutorial
翻译自：SymPy Tutorial,其实有人译过了，但我看着不爽……你看我的不爽可以参考他的SymPy简明教程
目录
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{: toc}
引言
SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码的精简而易于理解和课扩展。SymPy完全由Python写成，不需要任何外部库。
这个教程概述和简介SymPy。阅读它能让你知道SymPy可以为你做什么。如果你想了解更多，阅读SymPy用户指南和SymPy模块参考。或者直接阅读源码。
SymPy第一步
下载它最简单的方法是去http://code.google.com/p/sympy/从“推荐下载”下载最新的压缩包。^1
解压：
tar xzf sympy-0.7.1.tar.gz
然后用Python解释器尝试它：
[lyy@arch ~]cd sympy-0.7.1
[lyy@arch ~]$ python2
Python 2.7.3 (default, Apr 24 2012, 00:00:54)
[GCC 4.7.0 20120414 (prerelease)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import Symbol, cos
>>> x = Symbol('x')
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)
你可以如上展示使用SymPy。如果你在你的程序中使用它的话，这确实是推荐的方法。你也可以用./setup.py install像所有其它Python模块一样安装它，或者仅仅在你心爱的发行版中安装相应的包，等等。
在archlinux中安装SymPy
[lyy@arch ~]$ sudo pacman -S python2-sympy
警告：python2-sympy-0.7.1-4 已经为最新 -- 重新安装
正在解决依赖关系...
正在查找内部冲突...
目标 (1)： python2-sympy-0.7.1-4
全部安装大小：25.12 MiB
净更新大小：0.00 MiB
进行安装吗？ [Y/n]
(1/1) 正在检查软件包完整性 [###############################] 100%
(1/1) 正在加载软件包文件 [###############################] 100%
(1/1) 正在检查文件冲突 [###############################] 100%
(1/1) 正在检查可用硬盘空间 [###############################] 100%
(1/1) 正在更新 python2-sympy
其它安装SymPy的方法，查阅SymPy主页上的下载标签。
isympy控制台
为了试验新功能，或当搞清楚如何做事时，你可以使用我们对IPython的特殊封装isympy(它位于/bin/isympy中，如果你正在从源码文件夹运行的话)，它仅仅是一个已经导入相关sympy模块的标准python shell，定义了符号x,y,z和一些其它东西：
[lyy@arch ~]$ cd sympy
[lyy@arch ~]$ ./bin/isympy
IPython console for SymPy 0.7.1 (Python 2.7.3-64-bit) (ground types: python)
These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
Documentation can be found at http://www.sympy.org
In [1]: (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
Out[1]:
2 4 6 8
x 5⋅x 61⋅x 277⋅x
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)
2 24 720 8064
用SymPy做计算器
SymPy有三种内建的数值类型：浮点数、有理数和整数。
有理数类用一对整数表示一个有理数：分子和分母，所以Rational(1,2)代表1/2,Rational(5,2)代表5/2等等。
>>> from sympy import *
>>> a = Rational(1,2)
>>> a
1/2
>>> a*2
1
>>> Rational(2)**50/Rational(10)**50
1/88817841970012523233890533447265625
当计算整型数据时小心处理，因为他们会截取整数部分。这就是为何：
>>> 1/2
0
>>> 1.0/2
0.5
然而你可以这样做
>>> from __future__ import division
>>> 1/2
0.5
真正的除法将要成为python3k的标准，isympy中也是。
我们也有些特殊的常数，像e和pi，它们被视为符号(1+pi将不被数值求解，它将保持为1+pi)，并且我们可以有任意精度：
>>> pi**2
pi**2
>>> pi.evalf()
3.14159265358979
>>> (pi+exp(1)).evalf()
5.85987448204884
就像你看到的，evalf将表达式求解为浮点数。
这还有一个类表示数学上的无限，叫作oo：
>>> oo > 99999
True
>>> oo + 1
oo
符号
和其它计算机代数系统相比，在SymPy中你不得不显式地声明符号变量：
>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
然后你可以使用它们：
>>> x+y+x-y
2*x
>>> (x+y)**2
(x + y)**2
>>> ((x+y)**2).expand()
x**2 + 2*x*y + y**2
使用subs(old, new)用其它符号和数代换它们：
>>> ((x+y)**2).subs(x, 1)
(y + 1)**2
>>> ((x+y)**2).subs(x, y)
4*y**2
对于剩余的教程，我们假设我们已经运行了：
>>> import sys
>>> oldhook = sys.displayhook
>>> sys.displayhook = pprint
这样就有漂亮的打印。参见之后的打印部分。如果你安装了unicode字体，你的输出可能看起来有点不同。(将看起来稍微好些)
代数
对部分分式分解，使用apart(expr, x)：
>>> 1/((x+2)*(x+1))
1
───────────────
(x + 1)⋅(x + 2)
>>> apart(1/((x+2)*(x+1)), x)
1 1
- ───── + ─────
x + 2 x + 1
>>> (x+1)/(x-1)
x + 1
─────
x - 1
>>> apart((x+1)/(x-1), x)
2
1 + ─────
x - 1
把它们重新结合起来，使用together(expr, x)：
>>> z = Symbol('z')
>>> together(1/x + 1/y + 1/z)
x⋅y + x⋅z + y⋅z
───────────────
x⋅y⋅z
>>> together(apart((x+1)/(x-1), x), x)
x + 1
─────
x - 1
>>> together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)
1
───────────────
(x + 1)⋅(x + 2)
演算
极限
极限在sympy中使用很简单，它们的语法是limit(function, variable, point)，所以计算当x趋近于0时f(x)的极限，你可以给出limit(f, x, 0)：
>>> from sympy import *
>>> x=Symbol("x")
>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1
你也可以计算在无穷的极限：
>>> limit(sin(x)/x,x,0)
1
>>> limit(x,x,oo)
∞
对于一些不寻常的极限例子，你可以阅读这个测试文件test_demidovich.py
微分
你可以使用diff(func, var)微分任何SymPy表达式。例如：
>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> diff(sin(x), x)
cos(x)
>>> diff(sin(2*x), x)
2⋅cos(2⋅x)
>>> diff(tan(x), x)
2
tan (x) + 1
你可以检查正确性：
>>> limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)
2
tan (x) + 1
高阶微分可以使用diff(func, var, n)来计算：
>>> diff(sin(2*x), x, 1)
2⋅cos(2⋅x)
>>> diff(sin(2*x), x, 2)
-4⋅sin(2⋅x)
>>> diff(sin(2*x), x, 3)
-8⋅cos(2⋅x)
级数展开
使用.series(var, point, order):
>>> cos(x).series(x, 0, 10)
2 4 6 8
x x x x
1 - ── + ── - ─── + ───── + O(x**10)
2 24 720 40320
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
2 4 6 8
x 5⋅x 61⋅x 277⋅x
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)
2 24 720 8064
另一个简单的例子：
>>> from sympy import Integral, Symbol, pprint
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> e = 1/(x + y)
>>> s = e.series(x, 0, 5)
>>> print(s)
1/y - x/y**2 + x**2/y**3 - x**3/y**4 + x**4/y**5 + O(x**5)
>>> pprint(s)
2 3 4
1 x x x x
─ - ── + ── - ── + ── + O(x**5)
y 2 3 4 5
y y y y
None
求和
计算给定求和变量界限的f的总和(Summation)。[^2]
summation(f, (i, a, b))变量i从a到b计算f的和，也就是，
b
____
\ `
summation(f, (i, a, b)) = ) f
/___,
i = a
如果不能计算总和，它将打印相应的求和公式。求值可引入额外的极限计算：
>>> from sympy import summation, oo, symbols, log
>>> i, n, m = symbols('i n m', integer=True)
>>> summation(2*i - 1, (i, 1, n))
2
n
>>> summation(1/2**i, (i, 0, oo))
2
>>> summation(1/log(n)**n, (n, 2, oo))
∞
___
\ `
\ -n
/ log (n)
/__,
n = 2
>>> summation(i, (i, 0, n), (n, 0, m))
3 2
m m m
── + ── + ─
6 2 3
>>> from sympy.abc import x
>>> from sympy import factorial
>>> summation(x**n/factorial(n), (n, 0, oo))
x
ℯ
积分
通过integrate()功能(facility)，SymPy对基本和特殊函数定与不定积分有卓越的支持。
该功能使用有力的扩展Risch-Norman算法，启发算法和模式匹配：
>>> from sympy import integrate, erf, exp, sin, log, oo, pi, sinh, symbols
>>> x, y = symbols('x,y')
你可以对基本函数积分：
>>> integrate(6*x**5, x)
6
x
>>> integrate(sin(x), x)
-cos(x)
>>> integrate(log(x), x)
x⋅log(x) - x
>>> integrate(2*x + sinh(x), x)
2
x + cosh(x)
特殊函数也可以简单的处理：
>>> integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)
⎽⎽⎽ 2
╲╱ π ⋅erf (x)
─────────────
4
还可以计算定积分：
>>> integrate(x**3, (x, -1, 1))
0
>>> integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
1
>>> integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
2
反常积分也被支持：
>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
1
>>> integrate(log(x), (x, 0, 1))
-1
复数
除了复数单元I是虚数，符号可以被用属性创建(例如 real,positive,complex,等等)这将影响它们的表现：
>>> from sympy import Symbol, exp, I
>>> x = Symbol('x') # a plain x with no attributes
>>> exp(I*x).expand()
ⅈ⋅x
ℯ
>>> exp(I*x).expand(complex=True)
-im(x) -im(x)
ⅈ⋅ℯ ⋅sin(re(x)) + ℯ ⋅cos(re(x))
>>> x = Symbol('x', real=True)
>>> exp(I*x).expand(complex=True)
ⅈ⋅sin(x) + cos(x)
函数
三角函数:
>>> from sympy import asin, asinh, cos, sin, sinh, symbols, I
>>> x, y = symbols('x,y')
>>> sin(x+y).expand(trig=True)
sin(x)⋅cos(y) + sin(y)⋅cos(x)
>>> cos(x+y).expand(trig=True)
-sin(x)⋅sin(y) + cos(x)⋅cos(y)
>>> sin(I*x)
ⅈ⋅sinh(x)
>>> sinh(I*x)
ⅈ⋅sin(x)
>>> asinh(I)
ⅈ⋅π
───
2
>>> asinh(I*x)
ⅈ⋅asin(x)
>>> sin(x).series(x, 0, 10)
3 5 7 9
x x x x
x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
>>> sinh(x).series(x, 0, 10)
3 5 7 9
x x x x
x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
>>> asin(x).series(x, 0, 10)
3 5 7 9
x 3⋅x 5⋅x 35⋅x
x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152
>>> asinh(x).series(x, 0, 10)
3 5 7 9
x 3⋅x 5⋅x 35⋅x
x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152
球谐函数：
>>> from sympy import Ylm
>>> from sympy.abc import theta, phi
>>> Ylm(1, 0, theta, phi)
⎽⎽⎽
╲╱ 3 ⋅cos(θ)
────────────
⎽⎽⎽
2⋅╲╱ π
>>> Ylm(1, 1, theta, phi)
⎽⎽⎽ ⅈ⋅φ
-╲╱ 6 ⋅ℯ ⋅sin(θ)
──────────────────
⎽⎽⎽
4⋅╲╱ π
>>> Ylm(2, 1, theta, phi)
⎽⎽⎽⎽ ⅈ⋅φ
-╲╱ 30 ⋅ℯ ⋅sin(θ)⋅cos(θ)
──────────────────────────
⎽⎽⎽
4⋅╲╱ π
阶乘和伽马函数：
>>> from sympy import factorial, gamma, Symbol
>>> x = Symbol("x")
>>> n = Symbol("n", integer=True)
>>> factorial(x)
x!
>>> factorial(n)
n!
>>> gamma(x + 1).series(x, 0, 3) # i.e. factorial(x)
2 2 2 2
π ⋅x EulerGamma ⋅x
1 - EulerGamma⋅x + ───── + ────────────── + O(x**3)
12 2
zeta函数：
>>> from sympy import zeta
>>> zeta(4, x)
ζ(4, x)
>>> zeta(4, 1)
4
π
──
90
>>> zeta(4, 2)
4
π
-1 + ──
90
>>> zeta(4, 3)
4
17 π
- ── + ──
16 90
多项式：
>>> from sympy import assoc_legendre, chebyshevt, legendre, hermite
>>> chebyshevt(2, x)
2
2⋅x - 1
>>> chebyshevt(4, x)
4 2
8⋅x - 8⋅x + 1
>>> legendre(2, x)
2
3⋅x 1
──── - ─
2 2
>>> legendre(8, x)
8 6 4 2
6435⋅x 3003⋅x 3465⋅x 315⋅x 35
─────── - ─────── + ─────── - ────── + ───
128 32 64 32 128
>>> assoc_legendre(2, 1, x)
⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
╱ 2
-3⋅x⋅╲╱ - x + 1
>>> assoc_legendre(2, 2, x)
2
- 3⋅x + 3
>>> hermite(3, x)
3
8⋅x - 12⋅x
微分方程
在 isympy中：
>>> from sympy import Function, Symbol, dsolve
>>> f = Function('f')
>>> x = Symbol('x')
>>> f(x).diff(x, x) + f(x)
2
d
f(x) + ───(f(x))
2
dx
>>> dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
f(x) = C₁⋅cos(x) + C₂⋅sin(x)
代数方程
在isympy中：
>>> from sympy import solve, symbols
>>> x, y = symbols('x,y')
>>> solve(x**4 - 1, x)
[1, -1, -ⅈ, ⅈ]
>>> solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])
{x: -3, y: 1}
线性代数
矩阵
矩阵从Matrix类创建：
>>> from sympy import Matrix, Symbol
>>> Matrix([[1,0], [0,1]])
⎡1 0⎤
⎢ ⎥
⎣0 1⎦
它可以包含符号：
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> A = Matrix([[1,x], [y,1]])
>>> A
⎡1 x⎤
⎢ ⎥
⎣y 1⎦
>>> A**2
⎡x⋅y + 1 2⋅x ⎤
⎢ ⎥
⎣ 2⋅y x⋅y + 1⎦
更多有关矩阵信息，参见线性代数教程。
模式匹配
使用.match()方法，和Wild类对表达式实行模式匹配。这个方法将返回一个发生替换的字典，如下：
>>> from sympy import Symbol, Wild
>>> x = Symbol('x')
>>> p = Wild('p')
>>> (5*x**2).match(p*x**2)
{p: 5}
>>> q = Wild('q')
>>> (x**2).match(p*x**q)
{p: 1, q: 2}
如果匹配失败，将返回None：
>>> print (x+1).match(p**x)
None
可以指定Wild类的排除参数去保证一些东西不出现在结果之中：
>>> p = Wild('p', exclude=[1,x])
>>> print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded
None
>>> print (x+1).match(p+1) # x is excluded
None
>>> print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded
{p_: -1}
打印
这里有许多打印表达式的方法：
标准
这就是str(expression)返回的，看起来想这样：
>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print x**2
x**2
>>> print 1/x
1/x
>>> print Integral(x**2, x)
Integral(x**2, x)
漂亮的打印
pprint函数产生好看的ascii艺术打印：
>>> from sympy import Integral, pprint
>>> from sympy.abc import x
>>> pprint(x**2)
2
x
None
>>> pprint(1/x)
1
─
x
None
>>> pprint(Integral(x**2, x))
⌠
⎮ 2
⎮ x dx
⌡
None
如果你安装了unicode字体，pprint函数将默认使用它。你可以使用use_unicode函数改变这个选项。：
>>> pprint(Integral(x**2, x), use_unicode=False)
/
|
| 2
| x dx
|
/
None
更多好看的unicode打印另见维基Pretty Printing。
小技巧：在Python解释器中默认使用漂亮的打印，使用：
$ python
Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)
[GCC 4.3.1] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import init_printing, var, Integral
>>> init_printing(use_unicode=False, wrap_line=False, no_global=True)
>>> var("x")
x
>>> x**3/3
3
x
--
3
>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
/
|
| 2
| x dx
|
/
Python打印
>>> from sympy.printing.python import python
>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print python(x**2)
x = Symbol('x')
e = x**2
>>> print python(1/x)
x = Symbol('x')
e = 1/x
>>> print python(Integral(x**2, x))
x = Symbol('x')
e = Integral(x**2, x)
LaTeX打印
>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> latex(x**2)
x^{2}
>>> latex(x**2, mode='inline')
$x^{2}$
>>> latex(x**2, mode='equation')
\begin{equation}x^{2}\end{equation}
>>> latex(x**2, mode='equation*')
\begin{equation*}x^{2}\end{equation*}
>>> latex(1/x)
\frac{1}{x}
>>> latex(Integral(x**2, x))
\int x^{2}\,dx
MathML
>>> from sympy.printing.mathml import mathml
>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> print mathml(x**2)
<apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply>
>>> print mathml(1/x)
<apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply>
Pylet
>>> from sympy import Integral, preview
>>> from sympy.abc import x
>>> preview(Integral(x**2, x))
This is pdfTeX, Version 3.1415926-2.4-1.40.13 (TeX Live 2012/Arch Linux)
restricted \write18 enabled.
entering extended mode
(/tmp/tmpGYREx_.tex
LaTeX2e <2011/06/27>
Babel <v3.8m> and hyphenation patterns for english, dumylang, nohyphenation, ge
rman-x-2012-05-30, ngerman-x-2012-05-30, afrikaans, ancientgreek, ibycus, arabi
c, armenian, basque, bulgarian, catalan, pinyin, coptic, croatian, czech, danis
h, dutch, ukenglish, usenglishmax, esperanto, estonian, ethiopic, farsi, finnis
h, french, friulan, galician, german, ngerman, swissgerman, monogreek, greek, h
ungarian, icelandic, assamese, bengali, gujarati, hindi, kannada, malayalam, ma
rathi, oriya, panjabi, tamil, telugu, indonesian, interlingua, irish, italian,
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polish, portuguese, romanian, romansh, russian, sanskrit, serbian, serbianc, s
lovak, slovenian, spanish, swedish, turkish, turkmen, ukrainian, uppersorbian,
welsh, loaded.
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
Document Class: article 2007/10/19 v1.4h Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty))
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/eulervm.sty)
No file tmpGYREx_.aux.
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeur.fd)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeus.fd)
(/usr/share/texmf-dist/tex/latex/eulervm/uzeuex.fd) [1] (./tmpGYREx_.aux) )
Output written on tmpGYREx_.dvi (1 page, 320 bytes).
Transcript written on tmpGYREx_.log.
This is dvipng 1.14 Copyright 2002-2010 Jan-Ake Larsson
[1]
如果pyglet被安装了，一个包含LaTeX渲染后表达式的pyglet窗口将被打开：
注意
isympy自动调用pprint,这就是为什么默认情况下你看到的是漂亮的打印。
注意有一个可用的打印模块sympy.printing。其它通过这个模块的打印方法是：
pretty(expr),pretty_print(expr),pprint(expr):分别漂亮的表示expr.这是和之前描述的第二层表示是一样的。latex(expr),print_latex(expr)：分别返回和打印expr的LaTeX表示。mathml(expr),print_mathml(expr)：分别返回和打印expr的MathML表示。print_gtk(expr)：在Gtkmathview打印expr，这是一个呈现MathML代码的GTK部件。Gtkmathview要求安装。
更多文档
现在该学更多有关SymPy的知识了。浏览SymPy用户指南和SymPy模块参考。
一定也浏览我们的公共wiki.sympy.org，那里包含了很多我们和我们的用户贡献的示例，教程，cookbook，请自由地编辑它。
翻译
这个教程还有其它语言：
FootNotes
[^2]:Compute the summation of f with respect to the given summation variable over the given limits.